Tag:

Matematika

Kalkulator Determinan

by nanonano 13 March 2021

Cara Kerja Kalkulator Determinan

Apa itu Determinan?

Determinan adalah nilai yang didapatkan dari sebuah matriks dengan jumlah kolom dan baris yang sama atau matriks persegi. Determinan dapat digunakan untuk mencari inverse sebuah matriks dan untuk menyelesaikan sebuah persamaan linear.

Bagaimana cara menghitung determinan dari sebuah matriks?

Determinan untuk matriks 2×2

Matriks 2×2 adalah matriks yang seperti berikut:

A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}

Maka rumus untuk menghitung determinan matriks 2×2 adalah:

det A = \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Contohnya diketahui matriks A sebagai berikut:

A = \begin{bmatrix} 5 & 8\\ 3 & 7 \end{bmatrix}

Maka determinan dari matriks A adalah:

det A = \begin{vmatrix} 5 & 8\\ 3 & 7 \end{vmatrix} = (5*7) - (8*3) = 35 - 24 = 11

Determinan untuk matriks 3×3

Salah satu metode untuk mencari determinan dari matriks 3×3 adalah metode Minor-Kofaktor, yaitu dengan cara menghitung jumlah seluruh hasil kali antara kofaktor matriks bagian dari matriks A dengan elemen-elemen pada salah satu
baris atau kolom matriks A. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

Pilih salah satu baris atau kolom pada matriks untuk mendapatkan nilai determinan.
Cari kofaktor matriks bagian dari matriks A (C_ij).C_ij = (-1)^i+jM_ij dan M_ij = det A_ij dengan A_ij adalah matriks bagian dari matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j.
Gunakan rumus determinan matriks untuk metode Minor-Kofaktor. Rumusnya adalah sebagai berikut:
$det A = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\cdot c_{ij}$

Contohnya jika matriks A adalah sebagai berikut:

\begin{bmatrix} 7 & 3 & 8\\ 3 & 5 & 9\\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}

Maka cara mencari determinan menggunakan metode Minor-Kofaktor adalah:

Baris yang akan dipilih untuk mendapatkan nilai determinan adalah baris 1.
Matriks bagian dari matriks A berdasarkan baris 1 adalah A₁₁, A₁₂, dan A₁₃.
- Matriks bagian A₁₁ didapatkan dengan menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-1 :
  $A_{11} = \begin{bmatrix} {\color{Red} 7} & {\color{Red} 3} & {\color{Red} 8}\\ {\color{Red} 3} & 5 & 9\\ {\color{Red} 0} & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 9\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
  Maka M₁₁ adalah determinan dari A₁₁ :
  $\begin{vmatrix} 5 & 9\\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -13$
- Matriks bagian A₁₂ didapatkan dengan menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-2:
  $A_{11} = \begin{bmatrix} {\color{Red} 7} & {\color{Red} 3} & {\color{Red} 8}\\ 3 & {\color{Red} 5} & 9\\ 0 & {\color{Red} 2} & 1 \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 9\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
  Maka M₁₂ adalah determinan dari A₁₂:
  $\begin{vmatrix} 3 & 9\\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -9$
- Matriks bagian A₁₃ didapatkan dengan menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-3:
  $A_{13} = \begin{bmatrix} {\color{Red} 7} & {\color{Red} 3} & {\color{Red} 8}\\ 3 & 5 & {\color{Red} 9}\\ 0 & 2 & {\color{Red} 1} \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 5 & 2 \end{pmatrix}$
  Maka M₁₃ adalah determinan dari A₁₃:
  $\begin{vmatrix} 3 & 0\\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 6$
Gunakan rumus determinan. Rumusnya untuk matriks 3×3 adalah sebagai berikut:
$det A = a_{11} \cdot c_{11} + a_{12} \cdot c_{12} + a_{13} \cdot c_{13}$
a_ij didapatkan dari matriks A baris ke-i dan kolom ke-j. Sedangkan c_ij adalah perkalian antara (-1)^{i + j} dengan determinan matriks bagian yang sudah ditemukan pada langkah sebelumnya. Maka determinan dari matriks A adalah :
$det A = 7 \cdot (-1)^{1+1} \cdot (-13) + 3 \cdot (-1)^{1+2} \cdot (-9) + 8 \cdot (-1)^{1+3} \cdot (6) = -52$

Determinan untuk matriks berordo lebih dari 3

Untuk mencari determinan untuk matriks berordo lebih dari 3, bisa digunakan metode Minor-Kofaktor seperti proses yang sudah dijelaskan sebelumnya. Hanya saja prosesnya akan panjang karena banyaknya proses perhitungan matriks bagian.

Contohnya jika matriks berukuran 4×4, maka matriks bagiannya adalah matriks 3×3 sehingga harus digunakan metode Minor-Kofaktor untuk mengetahui determinan dari matriks bagian tersebut.

13 March 2021 0 comment

calc Matematika

Konversi Pecahan ke Persen

by nanonano 3 March 2021

written by nanonano

Cara Konversi Persen ke Pecahan

Cara Mengubah Persen Menjadi Pecahan

Untuk mengubah bilangan dalam persen menjadi pecahan sebenarnya sangat mudah, karena bilangan tersebut sebenarnya sudah dalam bentuk pecahan. Contohnya adalah sebagai berikut:

Jika bilangan dalam persen merupakan bilangan desimal seperti 6.3%, maka kita bisa mengalikan pembilang dengan penyebut dengan 10 sampai bilangan tidak lagi bilangan desimal. Contohnya adalah sebagai berikut:

Cara Mengubah Pecahan Menjadi Persen

Untuk mengubah bilangan dalam bentuk pecahan kedalam persen, cukup membagi pembilang dan penyebut dari pecahan tersebut lalu dikali dengan 100. Contohnya adalah sebagai berikut:

Jika pecahan merupakan pecahan campuran, kita perlu mengubah pecahan tersebut menjadi pecahan biasa. Contohnya adalah sebagai berikut:

5\frac{9}{45}=\frac{(45\times 5)+9}{45}=\frac{234}{45}

Setelah pecahan sudah menjadi pecahan biasa, kita bisa melakukan oprasi yang sama seperti sebelumnya.

3 March 2021 0 comment

calc Matematika

Kalkulator Proporsi

by nanonano 3 March 2021

written by nanonano

Cara Kerja Kalkulator Proporsi

Apa itu Proporsi?

Proporsi adalah hubungan antara dua kuantitas & dua pernyataan yang harus sama. Contoh proporsi yang sesuai adalah sebagai berikut:

Dalam proporsi tersebut, $\frac{3}{6}$ dan $\frac{1}{2}$ memiliki nilai yang sama, yaitu 0.5.

Cara Mencari Proporsi yang Sesuai

Jika kita memiliki proporsi yang salah satu pembilang atau penyebutnya tidak diketahui seperti berikut:

Kita dapat mencari nilai yang tidak diketahui tersebut dengan cara kali silang. Contohnya adalah sebagai berikut:

Sehingga proporsi yang sesuai adalah :

Contoh lain jika yang tidak diketahui adalah penyebut :

Maka x adalah :

3 March 2021 0 comment

Matematika

Konversi Desimal ke Pecahan

by nanonano 3 March 2021

written by nanonano

Cara Konversi Bilangan Desimal ke Pecahan

Cara Mengkonversi Bilangan Desimal ke Pecahan

Untuk mengkonversi bilangan desimal ke pecahan, kita bisa lakukan dengan cara mengalikan bilangan desimal tersebut dengan 10 sampai bilangan desimal tersebut menjadi bilangan bulat. Lalu sederhanakan pecahan jadi lebih kecil jika memungkinkan. Contohnya adalah sebagai berikut:

5.435=\frac{5435}{1000}=\frac{1087}{200}

Cara Mengkoversi Pecahan ke Bilangan Desimal

Untuk mengkonversi pecahan ke bilangan desimal sebenarnya sangat mudah, yaitu dengan cara membagi pembilang pecahan dengan penyebut pecahan. Contohnya adalah sebagai berikut:

Jika pecahan merupakan pecahan campuran, maka harus disederhanakan terlebih dahulu menjadi pecahan biasa. Caranya dengan mengalikan penyebut dengan bilangan bulat lalu ditambahkan dengan pembilang. Contohnya adalah sebagai berikut:

5\frac{34}{25}=\frac{(25\times 5)+34}{25}=\frac{159}{25}=6.36

3 March 2021 0 comment

calc Matematika

Kalkulator Modulo (Sisa Hasil Bagi) Otomatis

by nanonano 27 February 2021

written by nanonano

Cara Kerja Kalkulator Modulo?

Modulo atau disebut juga “mod” adalah operator matematika yang mirip seperti pembagian biasa, hanya saja menghasilkan sisa bagi dalam bilangan bulat. Contohnya adalah :

5 mod 2 menghasilkan 1 karena sisa bagi 5 dengan 2 adalah 1.

Operator mod memiliki banyak fungsi dalam pemrograman, salah satunya adalah untuk mengetahui apakah sebuah bilangan adalah bilangan genap atau ganjil. Caranya adalah dengan melakukan mod bilangan tersebut dengan 2. Jika bilangan genap mod 2 maka hasilnya adalah 0 karena bilangan genap habis dibagi 2, sedangkan bilangan ganjil mod 2 hasilnya adalah 1.

27 February 2021 0 comment

calc Matematika

Kalkulator Titik Tengah Garis

by nanonano 27 February 2021

written by nanonano

Cara Kerja Kalkulator Titik Tengah sebuah garis

Jika diketahui koordinat (x,y) titik awal dan titik akhir dari sebuah garis, maka untuk mencari koordinat (x,y) titik tengah garis tersebut dapat digunakan rumus berikut :

Titik\, Tengah (x,y) = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}),(\frac{y_{1} + y_{2}}{2})

Dimana (x₁,y₁) adalah titik awal garis dan (x₂,y₂) adalah titik akhir garis. Contohnya jika
diketahui garis degan titik awal dan titik akhir sebagai berikut :

Titik Awal (x₁,y₁) = (16,8)
Titik Akhir (x₂,y₂) = (4,9)

Maka titik tengah dari garis tersebut adalah :

Titik\, Tengah (x,y) = (\frac{16 + 4}{2}),(\frac{8 + 9}{2}) = (10,8.5)

27 February 2021 0 comment

calc Matematika

Kalkulator Titik Akhir

by nanonano 27 February 2021

written by nanonano

Cara Kerja Kalkulator Titik Akhir Sebuah Garis

Jika diketahui koordinat (x,y) titik awal dan titik tengah dari sebuah garis, maka untuk mencari koordinat (x,y) titik akhir garis tersebut dapat digunakan rumus berikut :

Titik\, Akhir (x_{2},y_{2}) = (2 * x - x_{1}), (2 * y - y_{1})

Dimana (x₁,y₁) adalah titik awal garis dan (x,y) adalah titik tengah garis. Contohnya jika diketahui garis degan titik awal dan titik tengah sebagai berikut :

Titik Awal (x₁,y₁) = (5,9)
Titik Tengah (x,y) = (-6,3)

Maka titik akhir dari garis tersebut adalah :

Titik\, Akhir (x_{2},y_{2}) = (2 * (-6) - 5), (2 * 3 - 9) = (-17, -3)

27 February 2021 0 comment

calc Matematika

Kalkulator Persentase Kesalahan

by nanonano 27 February 2021

written by nanonano

Cara Kerja Kalkulator Persentase Kesalahan

Apa itu Persentase Kesalahan?

Persentase Kesalahan adalah nilai yang digunakan untuk membandingkan perbedaan angka yang dikira-kira atau Nilai percobaan dengan angka yang sesungguhnya atau Nilai diterima.

Cara Menghitung Persentase Kesalahan

Untuk menghitung Persentase Kesalahan, dapat digunakan rumus berikut:

Persen\, Kesalahan = \frac{\left | Nilai\, Percobaan - Nilai\, Diterima \right |}{\left | Nilai Diterima \right |}

Contoh soal sederhana dari Persentase Kesalahan adalah :

Andi akan menggelar pesta ulang tahun. Andi mengira-ngira bahwa akan ada 100 orang yang datang. Namun setelah pesta berakhir, ternyata ada 87 orang yang datang.

Berdasarkan soal cerita tersebut, diketahui Nilai Percobaannya adalah 100, sedangkan Nilai Diterimanya adalah 87. Maka perhitungan Persen Kesalahannya adalah sebagai berikut :

Persen\, Kesalahan = \frac{\left | 100 - 87 \right |}{\left | 87 \right |} * 100 = \frac{13}{87} = 14.94%

27 February 2021 0 comment

calc Matematika

Kalkulator Jarak Titik (Koordinat) Otomatis

by nanonano 27 February 2021

written by nanonano

Cara Kerja Kalkulator Jarak Titik

Untuk menghitung jarak dari dua titik dalam 2 dimensi (x,y), dapat digunakan rumus berikut:

\sqrt{((x_{2} - x{_{1}})^{2}) + ((y_{2} - y{_{1}})^{2})}

Jika titik dalam 3 dimensi (x,y,z), maka bisa digunakan rumus berikut:

\sqrt{((x_{2} - x{_{1}})^{2}) + ((y_{2} - y{_{1}})^{2}) + ((z_{2} - z{_{1}})^{2})}

Contohnya diketahui dua titik dalam 2 dimensi dengan koordinat (x,y) sebagai berikut:

Titik Awal = (6,3)
Titik Akhir = (9,15)

Maka cara menghitung jarak dari dua titik tersebut adalah :

jarak = \sqrt{((9 - 6)^{2}) + ((15 - 3)^{2})} = 12.36932

27 February 2021 0 comment

calc Matematika

Kalkulator IPK Otomatis (Jumlah Semester dan Matkul Bebas)

by nanonano 27 February 2021

written by nanonano

Cara Hitung Kalkulator IPK dan IP (Index Prestasi)

Indeks Prestasi atau IP biasanya dihitung setiap akhir semester berdasarkan jumlah sks dan nilai yang didapatkan untuk setiap mata kuliah di semester tersebut.

Perbedaan Indeks Prestasi (IP) dan Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) adalah IP dihitung berdasarkan nilai mata kuliah yang diambil dalam satu semester tertentu, sedangkan IPK adalah nilai untuk semua mata kuliah yang sudah pernah diambil sebelumnya dalam semua semester.

Cara menghitung IP adalah sebagai berikut:

Hitung mutu setiap mata kuliah dengan mengalikan SKS mata kuliah dengan bobot nilai mata kuliah tersebut. Lakukan untuk semua mata kuliah dalam semester.
Jumlahkan mutu setiap mata kuliah dalam semester.
Jumlahkan SKS untuk semua mata kuliah dalam semseter.
Bagi jumlah mutu dengan jumlah SKS dalam semester.

Bobot nilai bisa berbeda dalam universitas tertentu, namun biasanya adalah sebagai berikut:

Nilai	Bobot
A	4
B	3
C	2
D	1
E	0

Contoh menghitung IP adalah sebagai berikut:

Mata kuliah	SKS	Nilai	Mutu
Mata Kuliah 1	3	A	12
Mata Kuliah 2	2	C	4
Mata Kuliah 3	3	B	9
Mata Kuliah 4	2	C	4
Total	10	29

Maka IP dari semester tersebut adalah 29/10 = 2.9.

Untuk menghitung IPK, misalnya kita memiliki nilai untuk semester kedua sebagai berikut:

Mata kuliah	SKS	Nilai	Mutu
Mata Kuliah A	3	A	12
Mata Kuliah B	2	B	6
Mata Kuliah C	2	B	6
Mata Kuliah D	2	D	2
Total	9	26

IP = 26/9 = 2.88.

Maka contoh menghitung IPK adalah sebagai berikut:

Mata kuliah	SKS	Nilai	Mutu
Mata Kuliah 1	3	A	12
Mata Kuliah 2	2	C	4
Mata Kuliah 3	3	B	9
Mata Kuliah 4	2	C	4
Mata Kuliah A	3	A	12
Mata Kuliah B	2	B	6
Mata Kuliah C	2	B	6
Mata Kuliah D	2	D	2
Total	19	55

IPK = 55/19 = 2.89.

27 February 2021 0 comment

Newer Posts

Older Posts