Kalkulator Determinan

by nanonano 13 March 2021

Cara Kerja Kalkulator Determinan

Apa itu Determinan?

Determinan adalah nilai yang didapatkan dari sebuah matriks dengan jumlah kolom dan baris yang sama atau matriks persegi. Determinan dapat digunakan untuk mencari inverse sebuah matriks dan untuk menyelesaikan sebuah persamaan linear.

Bagaimana cara menghitung determinan dari sebuah matriks?

Determinan untuk matriks 2×2

Matriks 2×2 adalah matriks yang seperti berikut:

A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}

Maka rumus untuk menghitung determinan matriks 2×2 adalah:

det A = \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Contohnya diketahui matriks A sebagai berikut:

A = \begin{bmatrix} 5 & 8\\ 3 & 7 \end{bmatrix}

Maka determinan dari matriks A adalah:

det A = \begin{vmatrix} 5 & 8\\ 3 & 7 \end{vmatrix} = (5*7) - (8*3) = 35 - 24 = 11

Determinan untuk matriks 3×3

Salah satu metode untuk mencari determinan dari matriks 3×3 adalah metode Minor-Kofaktor, yaitu dengan cara menghitung jumlah seluruh hasil kali antara kofaktor matriks bagian dari matriks A dengan elemen-elemen pada salah satu
baris atau kolom matriks A. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

Pilih salah satu baris atau kolom pada matriks untuk mendapatkan nilai determinan.
Cari kofaktor matriks bagian dari matriks A (C_ij).C_ij = (-1)^i+jM_ij dan M_ij = det A_ij dengan A_ij adalah matriks bagian dari matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j.
Gunakan rumus determinan matriks untuk metode Minor-Kofaktor. Rumusnya adalah sebagai berikut:
$det A = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\cdot c_{ij}$

Contohnya jika matriks A adalah sebagai berikut:

\begin{bmatrix} 7 & 3 & 8\\ 3 & 5 & 9\\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}

Maka cara mencari determinan menggunakan metode Minor-Kofaktor adalah:

Baris yang akan dipilih untuk mendapatkan nilai determinan adalah baris 1.
Matriks bagian dari matriks A berdasarkan baris 1 adalah A₁₁, A₁₂, dan A₁₃.
- Matriks bagian A₁₁ didapatkan dengan menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-1 :
  $A_{11} = \begin{bmatrix} {\color{Red} 7} & {\color{Red} 3} & {\color{Red} 8}\\ {\color{Red} 3} & 5 & 9\\ {\color{Red} 0} & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 9\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
  Maka M₁₁ adalah determinan dari A₁₁ :
  $\begin{vmatrix} 5 & 9\\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -13$
- Matriks bagian A₁₂ didapatkan dengan menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-2:
  $A_{11} = \begin{bmatrix} {\color{Red} 7} & {\color{Red} 3} & {\color{Red} 8}\\ 3 & {\color{Red} 5} & 9\\ 0 & {\color{Red} 2} & 1 \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 9\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
  Maka M₁₂ adalah determinan dari A₁₂:
  $\begin{vmatrix} 3 & 9\\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -9$
- Matriks bagian A₁₃ didapatkan dengan menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-3:
  $A_{13} = \begin{bmatrix} {\color{Red} 7} & {\color{Red} 3} & {\color{Red} 8}\\ 3 & 5 & {\color{Red} 9}\\ 0 & 2 & {\color{Red} 1} \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 5 & 2 \end{pmatrix}$
  Maka M₁₃ adalah determinan dari A₁₃:
  $\begin{vmatrix} 3 & 0\\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 6$
Gunakan rumus determinan. Rumusnya untuk matriks 3×3 adalah sebagai berikut:
$det A = a_{11} \cdot c_{11} + a_{12} \cdot c_{12} + a_{13} \cdot c_{13}$
a_ij didapatkan dari matriks A baris ke-i dan kolom ke-j. Sedangkan c_ij adalah perkalian antara (-1)^{i + j} dengan determinan matriks bagian yang sudah ditemukan pada langkah sebelumnya. Maka determinan dari matriks A adalah :
$det A = 7 \cdot (-1)^{1+1} \cdot (-13) + 3 \cdot (-1)^{1+2} \cdot (-9) + 8 \cdot (-1)^{1+3} \cdot (6) = -52$

Determinan untuk matriks berordo lebih dari 3

Untuk mencari determinan untuk matriks berordo lebih dari 3, bisa digunakan metode Minor-Kofaktor seperti proses yang sudah dijelaskan sebelumnya. Hanya saja prosesnya akan panjang karena banyaknya proses perhitungan matriks bagian.

Contohnya jika matriks berukuran 4×4, maka matriks bagiannya adalah matriks 3×3 sehingga harus digunakan metode Minor-Kofaktor untuk mengetahui determinan dari matriks bagian tersebut.