Kalkulator Integral Online

by nanonano 13 April 2021

Fungsi Umum dan Aturan Integral

Ada beberapa fungsi umum yang sering muncul dalam integral, yaitu:

Nama Fungsi	Fungsi	Integral
Konstan	∫ a dx	ax + C
Variabel	∫ x dx	x²/2 + C
Pangkat 2	∫ x² dx	x³/3 + C
Variabel pada penyebut pecahan	∫ 1/x dx	log(x) + C
Perpangkatan	∫ e^x dx	e^x + C
	∫ a^x dx	a^x/log(a) + C
	∫ ln(x) dx	x ln(x) – x + C
Trigonometri	∫ cos(x) dx	sin(x) + C
	∫ sin(x) dx	-cos(x) + C
	∫ sec²(x) dx	tan(x) + C

Untuk menyelesaikan sebuah soal integral, ada beberapa aturan yang dapat digunakan, yaitu:

Aturan	Fungsi	Integral
Perkalian dengan Konstan	∫ cf(x) dx	c ∫ f(x) dx
Aturan Pangkat n ≠ 1	∫ xⁿdx	xⁿ⁺¹/n+1 + C
Aturan Penjumlahan Fungsi	∫ (f+g) dx	∫ f dx + ∫ g dx
Aturan Pengurangan Fungsi	∫ (f-g) dx	∫ f dx – ∫ g dx

Aturan Pangkat dan Aturan Konstan

Aturan pangkat dan aturan konstan adalah aturan yang dapat digunakan untuk fungsi yang sederhana dan merupakan aturan yang paling sering digunakan untuk menyelesaikan soal integral. Contohnya adalah:

\int 5x^2\,dx=5\int x^{2}dx=5\frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{5x^{3}}{3}+C

Aturan Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi

Aturan ini dapat digunakan jika terdapat dua atau lebih fungsi yang dijumlahkan atau dikurangi. Contohnya adalah:

\int6x^{5}-18x^{2}+7\,dx=6\int x^{5}\,dx-18\int x^{2}dx+\int 7\,dx

=\frac{6x^{6}}{6}-\frac{18x^{3}}{3}+7x+C=x^{6}-6x^{3}+7x+C

Aturan Substitusi

Untuk menggunakan aturan ini, fungsi f(x) harus dapat diubah menjadi bentuk sebagai berikut:

\int{\color{Blue}f(}{\color{Green}g(x)}{\color{Blue} )}\,{\color{Green}g'(x)\,dx}

Contohnya pada fungsi berikut:

\int(4x^{2}-12x)^{4}(8x-12)dx

Dapat digunakan aturan substitusi untuk menyelesaikan integral fungsi tersebut, karena 8x-12 adalah turunan dari 4x²-12x. Sehingga g(x) nya adalah 4x²-12x dan g'(x) nya adalah 8x-12.

\int{\color{Blue}(}{\color{Green}4x^{2}-12x}{\color{Blue})^{4}}{\color{Green}(8x-12)\,dx}

Jika fungsi sudah dalam bentuk yang sesuai, maka dapat dilakukan substitusi:

\int{\color{Blue}f(}{\color{Green}g(x)}{\color{Blue} )}\,{\color{Green}g'(x)\,dx}= \int{\color{Blue} f(}{\color{Green} u}{\color{Blue} )}{\color{Green} du}

Dimana g(x) menjadi u dan g'(x) dx menjadi du. Lalu lakukan integral pada fungsi yang sudah disubstitusikan. Setelah integral dilakukan, ubah kembail u menjadi g(x). Berikut cara melakukan integral aturan substitusi untuk fungsi contoh diatas:

u = 4x^{2}-12x

du = 8x-12\,dx

\int (u)^{4} du =\frac{1}{5}(u)^{5}+c=\frac{1}{5}(4x^{2}-12x)^{5}+c

Aturan Parsial

Aturan ini dapat digunakan jika terdapat dua fungsi yang dikalikan. Aturan integral parsial adalah :

\int u\,v\,dx = u\int v\,dx-\int u'(\int v\,dx)dx

u adalah fungsi u(x), v adalah fungsi v(x), dan u’ adalah turunan dari fungsi u(x).

Contoh soal yang dapat diselesaikan menggunakan aturan parsial adalah:

\int x\,cos(x)\,dx

Ada dua fungsi dalam contoh soal diatas, yaitu x dan cos(x). Maka diketahui bahwa u(x) = x dan v(x) = cos(x). Sebelum menggunakan aturan parsial untuk menyelesaikan contoh soal diatas, kita harus mencari turunan dari u(x) terlebih dahulu.

u'(x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x = 1

Setelah diketahui bahwa turunan dari u(x) adalah 1, maka kita bisa menggunakan aturan parsial :

u(x) = x

v(x) = cos(x)

\int x\,cos(x)\,dx=x\int cos(x)\,dx-\int 1(\int cos(x)\,dx)\,dx

=x\,sin(x)-\int1 (sin(x))dx

=x\,sin(x)-(-cos(x))+c=x\,sin(x)+cos(x)+c

Integral Matematika

previous post

Kalkulator Pembulatan

next post

Kalkulator Turunan